Heute gibt’s mal wieder eine Geschichte von dem sagenumwobenen “Früher”! Es war wohl so in den 90ern des letzten Jahrtausends, als ich an meinem C64 das erste Mal mit “Herrn Mandelbrot” Kontakt hatte. Damals las man als C64-Besitzer eine Zeitschrift namens “64’er”, in der es eine Diskette mit ausgesuchten Programmen gab, die man an seinem Rechner ausprobieren konnte. In einer dieser Ausgaben (10/91), wurde das “Mandelbrot Construction Set” – kurz MCS – veröffentlicht, das es einem ermöglichte, in der verrückten Auslösung von 320 x 200 Pixeln (damals galt das als Hi-Res, also hochauflösend!) fraktale, mathematische Gebilde berechnen zu lassen.
Wenn ich mich richtig erinnere, hat es mehrere Minuten gedauert, bis der C64 das Kunstwerk beendet hatte. Dann saß man staunend vor dem Bildschirm und konnte in eine beliebige Stelle rein zoomen, die dann wiederum berechnet wurde. Das Faszinierende daran war, dass man so tief in das Fraktal rein zoomen konnte, wie man wollte: Es ging endlos weiter und das Aussehen des Fraktals hat sich immer auf ähnliche Weise wiederholt – daher bezeichnet man diesen Effekt auch “Selbst-Ähnlichkeit”. Damit ihr wisst, was ich meine, gibt es hier ein Bild der Mandelbrot-Menge (Quelle: C64-Wiki.de):
Für die C64-Fans: Wenn ihr mal mit wenigen Zeilen BASIC ein Mandelbrot-Fraktal auf eurem C64 Emulator generieren möchtet, findet ihr hier die passenden Code-Zeilen. Dem Mandelbrot-Set liegt übrigens folgende mathematische Formel zugrunde:
Zn+1–>Zn2+Z0
Sieht nicht wild aus, aber das tut E=mc2 ja auch nicht. Trotzdem war die Theorie dahinter eine ziemliche Revolution. ;-)
Kapitel in diesem Beitrag:
- 1 Benoît Mandelbrot– Genialer Mathematiker und Papa der Apfelmännchen
- 2 “Frax HD – Echtzeit Fraktale” – Mandelbrot auf Sterioden!
- 3 Die Entwickler von Frax HD
- 4 User Interface – vielfältig, aber erlernbar
- 5 Rechenpower pur
- 6 Presets für schnelle Ergebnisse und öffene Münder
- 7 Kompatibel mit dem Apple Pencil
- 8 Die In-App-Käufe: Pro-Version und Render Coupons
- 9 Mein Fazit zu Frax HD
- 10 Meine Tipps & Tricks rund um Technik & Apple
- 11 Ähnliche Beiträge
Benoît Mandelbrot– Genialer Mathematiker und Papa der Apfelmännchen
Ein kurzes Zitat aus der Wikipedia klärt über die Mandelbrot-Menge auf:
Geometrisch als Teil der Gaußschen Zahlenebene interpretiert, ist die Mandelbrotmenge ein Fraktal, das im allgemeinen Sprachgebrauch oft Apfelmännchen genannt wird.
Soweit so gut… ich bin kein Mathematiker, aber Benoît Mandelbrot hat mit seinen wissenschaftlichen Beiträgen in den Bereichen der Chaosforschung und der fraktalen Gebilde irgendwie mein Leben bereichert, denn auf seine Formel geht die hübsche grafische Darstellung zurück, die letztendlich schon am C64 für die tollen Apfelmännchen-Grafiken gesorgt hat.
Der leider bereits verstorbene Benoît Mandelbrot hat uns neben den Mandelbrot-Mengen auch ein interessantes Buch zu den Vorkommen von Fraktalen in der Natur hinterlassen – “Die fraktale Geometrie der Natur” – das sich großer Beliebtheit unter den mathematisch interessierten Lesern erfreut. Ich persönlich bin eher von den Grafiken fasziniert, weshalb ich mich nach einem aktuellen Programm umgeschaut habe, mit dem sich solche Apfelmännchen, Julias und Seepferdchen berechnen lassen. Und was soll ich sagen? Ich bin so fündig geworden, dass man fündiger nicht werden kann.
“Frax HD – Echtzeit Fraktale” – Mandelbrot auf Sterioden!
Im App Store für das iPad habe ich die App “Frax HD” entdeckt, die sich die Multi-Touch-Gestensteuerung des iPad zunutze macht, um damit die generierten Fraktale in Echtzeit zu verändern. Und wer nun denkt, man würde nur die Farbe anpassen oder hinein und hinaus zoomen können, der irrt gewaltig. Frax HD ermöglicht einem so viel mehr:
- Auswahl verschiedener fraktaler Gebilde über eine unglaublich große Galerie
- Änderung der Position des Fraktals über die Neigungssensoren des iPad oder über Ziehen auf dem Touchscreen
- Anpassung des 3D-Tiefeneffekts und des Lichteinfalls
- Änderung der Farbskala und der Geschwindigkeit in der die Farben durch das Fraktal laufen
- Berechnung des kompletten Bildschirms in Retinaauflösung mehrmals pro Sekunde
- Erstellen von flüssigen Filmen beim Herein- oder Herauszoomen (in Echtzeit!)
- mit einer Malpalette läßt sich das Fraktal per Hand colorieren
- mit FraxFlow kann man sich wie im Flug über ein Fraktal bewegen und entspannen
- Berechnung von Fraktalen mit 50 Megapixel Auflösung (gegen Zahlung von nicht mal 25 Cent)
Kurzum: Diese App ist wirklich der heilige Gral für alle, die Fraktale der Julia- bzw. Mandelbrot-Menge lieben! Und sie kommt auch von drei Entwicklern, die diesen Fraktalen verfallen sind. Sie sagen selbst über ihre App Frax HD:
Unsere Hommage an die klassischen Mandelbrot und Julia Fraktale.
Im folgenden (englischsprachigen) Video, das schon mehr als 4 Jahre alt ist, wird die App ein bisschen vorgestellt. Man sieht hier die Bedienmöglichkeiten und vor allem die atemberaubende Geschwindigkeit, in der das iPad die Fraktale berechnet:
Die Entwickler von Frax HD
Erst nach einem Einwurf eines Leser ist mir aufgefallen, dass unter den drei Entwicklern – Ben Weiss, Kai Krause, Tom Beddard – von Frax auch ein deutsches Urgestein auf der frühen Macintosh Zeit ist: Kai Krause. Wer damals schon am Mac grafisch unterwegs war, kannte bestimmt die Photoshop-Plugins “Kai’s Power Tools” und “Kai’s Power Goo”, mit denen man Schriften und Bilder mit 3D-Effekten und ähnlichem versehen konnte. “Kai’s Power Goo” war dabei ein Plugin zum Verformen von Fotos, mit denen man zum Beispiel lustige Grimassen in die Fotos basteln konnte. Etwas mehr über Kai Krause findet man natürlich auf der Wikipedia-Seite über ihn und auch auf rp-pnline.de, wo er von einem 9-jährigen Schüler interviewt wird
User Interface – vielfältig, aber erlernbar
Was die Bedienung der App betrifft, haben die Entwickler auch ganze Arbeit geleistet. Startet man die App zum ersten Mal, wird man durch die einzelnen Parameter geführt, die man auswählen und dann per Slide- oder Pinch-Geste verändern kann. Nach der ersten Erklärrunde war ich zwar noch etwas überfordert von den ganzen Möglichkeiten, die die App für Manipulationen an der fraktalen Darstellung bereit stellt. Dennoch ist das Userinterface klar gegliedert und man findet sich nach 15 bis 20 Minuten recht gut in der App zurecht. Man sieht hier einfach, dass die Entwickler selbst Mandelbrot-Fans sind und sich wirklich viel Mühe gegeben haben, um eine optische Darstellung auf hohem Niveau zu bieten.
Neben den Anpassungsmöglichkeiten gibt es links oben und oben mittig noch zwei Menüs, über die man Fraktale teilen und speichern kann oder über die man verschiedene Bereiche wie “Forschen”, “Designen”, “FraxFlow”, “Malen” und ein paar andere Extras aufrufen kann. Über die Galerie lassen sich seine eigenen Fraktale speichern oder man kann sich die vielen vorgefertigten Fraktale anschauen, die dort schon hinterlegt sind. Die Menge sorgt für viele Stunden Spaß und Entspannung – soviel sei garantiert.
Rechenpower pur
Wenn man schon immer mal nach einer App gesucht hat, um sich von der Rechenpower des iPad beeindrucken zu lassen, dann hat man mit Frax HD definitiv eine gute Wahl getroffen. Ich habe die App auf meinem iPad Pro von 2015 laufen und sie ist so schnell, dass man selbst bei komplexen Gebilden nur sehr selten unscharfe Ränder sieht, die dann beim Rein- oder Rauszoomen nachberechnet werden. In den meisten Fällen fliegt man mit mindestens 25 fps durch die Apfelmännchen und merkt nicht einal ansatzweise, wieviele mathematische Berechnungen das iPad im Hintergrund durchführt.
Presets für schnelle Ergebnisse und öffene Münder
Was ebenfalls sehr schön ist, sind die vorgefertigten Presets in der Galerie. Insgesamt stehen hier 198 Fraktale zur Auswahl. Eine Vorschau zeigt schon einen animierten Flug mit Zoom über das Fraktal. Wenn man es mit dem Häckchen auswählt, kann man im gewohnten Editor alle Einstellungen selbst verändern. Ein sehr hilfreiches Feature ist, dass man bei jedem Button zur Veränderung von Position, Farben, Lichter und Texturen einen Play- und einen Random-Button findet. Mit diesen kommt man schnell zu neuen überraschenden Ergebnissen und kann (über Play) eine Bewegung in die entsprechende Ansicht bringen. Wenn man bei “Farben” auf “Play” drückt, fließen die Farben mit einem Verlauf durch das Fraktal. Drückt man bei “Position” auf “Play”, beginnt ein langsamer Flug über das Fraktal, wobei Geschwindigkeit, Flugrichtung und Zoom bei jedem Mal immer wieder variieren.
Kompatibel mit dem Apple Pencil
Natürlich haben die Entwickler auch die Verwendung des Apple Pencil berücksichtigt. So kann man ihn besonders gut nutzen, um im Menüpunkt “Malen” ein Fraktal farblich zu gestalten. Aber natürlich lassen sich mit dem Pencil auch die Werte bei allen anderen Bereichen der App verändern. Nur die Pinch-Gesten klappen logischerweise mit zwei Fingern besser als mit einem Pencil. ;-)
Die In-App-Käufe: Pro-Version und Render Coupons
Die App selbst kostet in der “Frax HD”-Version schon etwas Geld (bei mir waren es ca. 2,50 EUR). Ein Betrag, der absolut in Ordnung ist und der aus meiner Sicht eher “zu günstig” erscheint, wenn man sich anschaut, wieviel Liebe zum Detail in dieser App steckt. In dieser Version kann man schon sehr viel machen und die In-App-Käufe für “Pro” und “Render Coupons” sind keineswegs nötig, um Spaß mit der App zu haben.
Die Render Coupons ermöglichen, dass man richtig riesige Fraktale in der FraxCloud rechnen lassen kann. Dabei kommen dann Bilder raus, die mit 50 Megapixel Auflösung auch reichen, um Werbeplakate in DIN A0 zu drucken. Die Kosten für solch eine Berechnung liegt bei weniger als 25 Cent – also Peanuts.
Der zweite, mögliche In-App-Kauf ist die PRO-Version. Wenn man diese erwirbt (Kosten bei mir aktuell ca. 8 EUR), erhält man auch Zugriff auf die Bereiche “Designen”, wo man noch mehr Parameter verändern kann und auf den Bereich “Video aufnehmen”, der es ermöglicht, einen Flug in ein Fraktal aufzuzeichnen. Ich habe mir diese Pro-Version noch gekauft, da ich die Entwickler unterstützen möchte. Die Features, die ich dadurch erhalte sind garnicht mal nötig gewesen – aber es ist natürlich toll, wenn man noch mehr Knöpfe und Presets hat, mit denen man spielen kann. ;-)
Mein Fazit zu Frax HD
Ja, was denkt ihr? Werde ich von der App abraten??? Natürlich nicht! Das Programm gehört zur Pflicht-App-Auswahl, die auf jedes iPad muss. Warum? Um alleine Spaß mit Mathe und schönen Formen und Farben zu haben und natürlich, um Kinder für Fraktale zu begeistern. Ich ärgere mich fast, dass ich die App erst jetzt entdeckt habe, obwohl sie schon seit 2015 im App Store ist. Eigentlich müsste sie mindestens 5 mal pro Jahr “App des Tages” sein. :D
Wer sich noch ein paar Beispiele für Fraktale von Frax anschauen möchte, findet hier auf der Webseite der App eine schier endlose Galerie mit Bildern, die man begutachten kann. Viel mehr Spaß macht aber das Rumspielen in der App!
[appbox appstore id529646208]
Und hier habe ich noch drei Fraktale für euch, die ich ganz einfach mit der Frax HD App erstellt habe bzw. die ich von den Presets übernommen habe:
Meine Tipps & Tricks rund um Technik & Apple
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Seit 2012 betreibe ich meinen Blog als Sir Apfelot und helfe meinen Lesern bei technischen Problemen. In meiner Freizeit flitze ich auf elektrischen Einrädern, fotografiere mit meinem iPhone, klettere in den hessischen Bergen oder wandere mit meiner Familie. Meine Artikel behandeln Apple-Produkte, Drohnen-News und Lösungen für aktuelle Bugs.
Frax ist wirklich grandios, die letzte App, die man je zum Thema Apfelmännchen haben muss.
Aber du hättest wirklich auf den sagenumwobenen Kai Krause als einen der Entwickler hinweisen müssen, oder bist du doch noch gar nicht sooooo lange im Mac-Universum unterwegs?
Hallo Robert! Jetzt weiss ich auch, woher mir “Kai Krause” bekannt vorkam. Ich hatte natürlich auch “Kai’s Power Tools” und später “Kai’s Power Goo” als Plugin in meinem Uralt Photoshop und war begeistert, was der Kai so alles an Effekten aus der Kiste holt. Ich werde die Entwickler oben nochmal in einem extra Absatz einbauen – das muss wirklich sein. Dank dir für diesen tollen Einwurf! Ach, schöne alte C64-Zeit… hätte einem damals einer ein iPad in die Hand gedrückt, hätte man gedacht, er kommt 100 Jahre aus der Zukunft! ;-)
Hallo Jens,
Mit diesem Artikel hast Du mir eine große Freude bereitet. Werde mir die App sofort in der Pro-Version auf mein IPad laden. Mein erstes Fraktal habe ich auf meinem Atari 520 ST(Programm mühsam aus der c’t abgetippt) in schwarz-weiß erzeugt. Es dauerte damals fast zwei Tage bis es fertig war. Ich habe das Programm spät abends gestartet. Am nächsten Tag als ich von der Arbeit nach Hause war es fertig. Habe es dann noch auf meinem Nadeldrucker Epson FX80 ausgedruckt. Melde mich nochmal wenn ich es ausprobiert habe.
Habe mir das Programm auf mein IPad 9,7” 2018 128 GB geladen. Schon nach ca. 30 min kann ich nur eins sagen: Fantastisch. Für mich als Fraktal-Fan ein Traum !
Hallo Horst! Es freut mich, dass du genauso viel Spaß mit dem Programm hast wie ich. Und schon kann die gute alte Atari-, C64- oder Pizzaschachtel-Mac-Zeit wieder aufleben! :D
Hallo Jens,
Habe es spasseshalber auch mal aus IPhone Xs geladen. Selbs auf dem kleinen 5,8″-Zoll-Screen macht die App Spaß.
Hätte Frax auch gerne auf dem PC. Gibts leider nicht. Die App ist schon alleine wg. der wunderschönen Beispiel-Fracs sein Geld wert.
Hallo Horst! Schau dir doch mal JWildfire an, von dem Beatrix geschrieben hat. Das kenne ich auch noch nicht, aber wenn es am Mac läuft wäre es vielleicht was für dich. Sieht auch sehr vielversprechend aus, wenn man sich die Screenshots anschaut!
Hallo Jens,
Erstmal danke an Beatrix und dich für den Tipp. Habe es mir mal für meinen Win10-PC heruntergeladen und kurz angeschaut. Erinnert mich an den Raytracer POVRay. Werde es mir mal näher betrachten und ausprobieren. Sieht auf jeden Fall vielversprechend aus. Dürfte allerdings einiges an Einarbeitungszeit erfordern.
Ja, so ging es mir auch. :D Ich habe mit JWildfire aus Neugier auch mal geladen, aber nach dem Start ungefähr garnichts kapiert. Da muss man wirklich ein bisschen Zeit mitbringen, sich Tutorials anschauen und ein bisschen werkeln. Soviel Zeit habe ich leider gerade nicht, darum liebe ich Frax. ;-)
Frax ist ja nicht teuer. Aber sich für einzelne Renders bezahlen zu lassen, ist eine Frechheit. 50MB-Render mache ich mehrmals in der Woche. Aber natürlich auf meinem iMac und nicht auf einem iPad.
Aber ich verwende lieber JWildfire. Das ist zwar Java und das Interface ist mehr funktional als Mac-like. Dafür ist der Funktionsumfang so viel größer. Apfelmännchen kann man damit auch machen, wenn es sein muß.
Hallo Beatrix! Danke für diesen tollen Tipp mit Jwildfire! Das sieht ja super aus! Beim nächsten Advents gönne ich mir mal eine Testzeit und werde drüber berichten! Ich mag solche Programme… macht riesig Spaß damit zu spielen. :D
Habe mich jetzt etwas genauer mit Frax HD auf meinem IPad und IPhone Xs beschäftigt. Habe einige Fraktale auf meinem IPad gespeichert(werden als Foto abgespeichert) und per EMail auf meinen PC geschickt. Dann habe ich diese auf dem PC(Windows 10 Pro x64) gespeichert und lasse diese als per Diashow anzeigen(Full HD). Es sieht einfach nur fantastisch aus !
Da braucht man nur noch beruhigende, klassische Musik dazu und man kann wegträumen. :D
Nutze momentan die ApfelotApp. Die läuft super auf dem Xs. Ich höre ja lieber ACDC. Allerdings würde ich hier auch Bilder einer Ausstellung von Mussotgsky hören
Mann oh Mann, was habe ich denn da zusammen getippt. Natürlich muß das Hader und nicht Hafer heißen auch muß es Modest Mussorgsky und nicht Mussotgsky heißen. Das war übrigens mein Einstieg in die klassische Musik. Hatte damals Pictures at an Exhibition von Emerson, Lake & Palmer bei einem Freund gehört und mir darauf hin sofort die LP gekauft und wollte wissen wie sich das Original von Mussorgsky anhört.
Guten Morgen Horst! Das kannst du alles problemlos auf die Autokorrektur schieben. Die ist bei mir grundsätzlich auch für alle Rechtschreib- und Grammatikfehler verantwortlich. ;-)
Hallo Jens,
Die Ausrede mit der Autokorrektur hätte ich bei meinen ersten Rechtschreibfehlern auch gebrauchen können. Aber damals hatte ich noch eine Schiefertafel in Gebrauch. Und an sowas wie ein Smartphone haben damals selbst die kühnsten Seher nicht gedacht. Da war ein Telefon mit Schnur schon der pure Luxus. Schönes Wochenende.
Ja, damals ein iPad mit Frax HD und du wärst der König gewesen! :D Dir auch ein schönes Wochenende!
Danke für diesen tollen Beitrag hier. Ich habe es versucht auf meinem Win 11 Rechner zum Laufen zu bringen. Irgendwie klappt die Emulation nicht und das Programm startet nicht. Gibt es eine alternative Software für Win die ähnliche Resultate liefert?
Hallo Nick! Ich habe keine Alternative parat. Tut mir leid. :(
Das Programm JWildfire für Windows gibt es auf der Spieleplattform Steam für 9,99 € zu kaufen.
Hallo Horst! Dank dir für den Tipp. Das sieht auch spannend aus. 😊
Hallo Jens,
Habe mir JWildfire auf Steam gekauft und kurz aufgerufen. Muß mich aber erstmal einarbeiten. Mein System: Windows 11 Pro x64(Version 21H2 Build 22000.675). Leider hat das Programm nicht die geniale Oberfläche von FRAX HD.
Ja, ich denke, es hat eine steilere Lernkurve als FraxHD, aber Beatrix (die hier auch immer mal mitliest), nutzt JWildfire schon eine Weile und findet es scheinbar ganz gut. Ich denke, man muss zunächst kapieren, was man womit macht. Bei FraxHD ist es ja eher ein Rumspielen an irgendwelchen Reglern. Die Freiheiten bei JWildfire dürften dadurch auch größer sein.
Ja, JWildfire hat eine steile Lernkurve. Unter https://www.jwfsanctuary.club gibt es eine Webseite mit Tutorials, vielen Flamepacks und Scripten. Auf YouTube gibt es eine ganze Reihe von Videos.
Ich starte meistens mit einem Script. Da habe ich keine leere Fläche.
Hallo Beatrix! Dank dir für den Link. 😊
Hallo Beatrix,
Von mir auch Danke für den Link. Habe mal zwei Scripts(Ornamental Ferns, Birth of Phoenix) gerendert(1920×1080, Very High Quality). Renderzeit für Birth of Phoenix: 224,64 s(CPU) System: Win11 Pro x64,CPU: Intel Core i9-9900K, Grafik: nVidia RTX2080,32 GB RAM. Leider unterstützt JWildfire für den PC noch(?) nicht 4K. Auf jeden Fall ist das Programm sein Geld wert und bietet soweit ich das bisher einschätzen kann sehr, sehr viele Möglichkeiten. Werde mich demnächst mit den Tutorials beschäftigen.
Wünsche Dir ein schönes Wochenende !